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【趣说工学】听说这个方程组能秒杀电磁学?!
发布时间:2022-05-29 17:52:17 来源:优游5.0手机客户端 作者:优游平台客户端下载

  “紫丁香的枝头挂着开壳的籽,夜少了纯黑色的梦,下弦月沉睡在山头不见了踪影。灯火通明,是褚红色的教学楼,是莫兰迪灰的昆仑堂,漫漫长灯,点亮的,还有无数兰大学子心中的梦想......”

  兰大,夜凉如水,静可听尘,路上的行人漫步在从路旁的建筑逃逸出来的灯光里,或悠哉,享受这黑夜中柔和的灯光;或急促,快步向着寝室走去;或欢声笑语,讨论一天以来所学习的专业知识,或独自彳亍,感受这来之不易的一段宁静......

  大海航行靠舵手,万物生长靠太阳.....而兰大的灯,要想亮起来,那肯定少不了“电”,为了发“电”,肯定也少不了“磁”。

  每当谈论到电,我们首先想到的就是电灯,因为有了电,电灯才能亮,才能为我们带来光芒。

  当指尖触碰到“身外之物”的时候,肉眼可见的电火花映入双眼,钻心的痛感让人心生畏惧......

  而当我们谈论到磁,最先浮现在脑海的当属四大发明之一——指南针,大家应该都很清楚,指南针的工作原理便是磁性指针在地磁场中偏转,指向一个特定的方向。

  可见,电和磁对我们的日常生活产生了深远的影响,很久以前,人们都把电现象和磁现象分归为两类来研究的。在很长一段时间里,人们都没有发现它们之间内在的联系。

  机缘巧合之下,一声惊雷落下,劈在了岩石上,人们发现,被闪电击中的石头竟然有了磁铁的属性......

  此后在1820年,奥斯特经过不懈努力,终于发现并证明了电流的磁效应,由此,我们便有了“电生磁”的概念......

  无独有偶,当法拉第把磁铁插入螺线管后灵敏电流计的指针发生了偏转,我们便有了“磁生电”的概念。

  多年以来,无数的科学家都想弄清楚电和磁的本质是什么,以及它们到底是以一种什么规律存在和变化的。由此,物理学产生了一个新的分支——电磁学,电磁学的发展历程和人类的发展历程息息相关,可以说,没有电磁学的高速发展,就不会有我们当今如此便利的社会。而不少科学家都为电磁学的发展做出重大贡献,甚至献出生命。而我们耳熟能详的科学家有尼古拉·特斯拉、麦克斯韦、库仑等等。

  中学期间,我们谈论到电磁学,基本就是围绕库仑定律、电磁感应等基本规律展开的,我们对电磁场一直没有一个全面而详细的印象。而这两期我们将要介绍的麦克斯韦方程组,便是以数学的形式和物理的思想,对电磁场本身所具有的性质和服从的规律进行了全面的解释。

  詹姆斯·克拉克·麦克斯韦(James Clerk Maxwell),出生于苏格兰爱丁堡,英国物理学家、数学家。经典电动力学的创始人,统计物理学的奠基人之一。麦克斯韦被普遍认为是对物理学最有影响力的物理学家之一。没有电磁学就没有现代电工学,也就不可能有现代文明()。

  我们说麦克斯韦在电磁学上的地位就好比牛顿在经典力学上的地位一样。而麦克斯韦方程组就好比牛顿运动定律。后者揭示了宏观世界物体运动的基本规律,而前者则以四个方程的形式完美展现了电磁场存在和变化的基本规律。

  那几个方程是不是看起来特别复杂?放心,其实物理学就是这样,直接看结论会让人眉头紧皱,复杂的公式往往都会给人带来一定的精神压力,但是再难的公式都是由简单的原理一点点推出来的,接下来就让我们一起理解那一坨坨方程吧!

  由于麦氏方程组的完全形式设计大量电动力学的内容,过于复杂,三言两语很难讲明白。因此,这几期我们只讨论麦氏方程组在无电介质(真空)情况下的形式:

  顾名思义,标量场就是指场的元素都是标量的场,我们可以举一个很常见的例子,比如静止电荷激发的电场中,我们可以选取一个零势点,这样我们就可以得到一个电势场:场内的每一个确定的位置都具有一个确定的电势。很明显,这个势场是一个标量场,因为电势都是标量,将一个试探电荷放入这个电势场中,它将会具有一定数值的电势能。

  事实上,标量场在生活中很常见,比如类似电势,我们可以定义重力势……水中每一点的压强......等等。

  区别于标量场,矢量场中的元素一般都是矢量。它有大小,有方向。矢量场可以是重力场,速度场,电场,磁场.....它会令处于场中具有特定性质的物体具有矢量的相关属性。矢量场及矢量分析,在电磁学研究中运用也较为广泛。

  在中学阶段,电场和磁场我们都是分开讨论的,但是到了大学阶段,我们就要明白,电场和磁场常常同时出现,相互影响。在麦氏方程组中,着重表现了当一个场变化时对另一个场的影响。

  另外,电磁场也是客观存在的一种物质,它具有能量和动量,只是我们看不见摸不着而已。

  好了,我们在简单了解电磁场之后,正式开始麦氏方程组的推导。为了使推导过程更加容易理解,我们将会从最简单的情况开始讨论。

  鉴于这两期中大部分都是一般性讨论,涉及纯计算不多,所以这两期讨论中积分计算过程我们将会简略书写。

  在研究过程中,我们提到了通量这个概念。比如水流,我们谈及它的通量,可以研究水流的流速在不同截面的变化和水量的大小。

  在实际问题中水流的通量比较常见,但我们今天要讨论的是电场的通量。电场的通量好像并没有什么实际意义,那谈论它的通量有什么意义呢?

  这是一个好问题,咱们先回到问题的本质——我们要研究的是电“场”,电场是一个矢量场,就像水流的速度场一样。咱们不管它的实际意义(生活意义)明不明显,都可以把它们归结为一个简单的矢量场模型来研究。

  流的通量和水量有关,也和速度有关,那么电场的通量和电荷量到底有没有关系呢?或者,是一种什么样的关系呢?

  这便是我们研究电场的高斯定理所要解决的问题,那么接下来咱们就来尝试理解电场的高斯定理!

  在本节讨论中,不妨设矢量场为一点电荷+q激发的静电场E,已知del算子:

  现在我们来计算该电场E对闭合曲面S的电通量Φ,用曲面积分可以把电通量表示为:

  使得曲面S上的每一个面元dS都能在球面S’上找到对应的面元dS’,使得它们对应着同一个立体角Ω’。

  我们刚刚弄清楚了电场的通量和电荷量之间的关系,对于一个矢量场来说,我们相当于拥有了一个可以描述这个矢量场强弱的方法:对一个定面讨论通量,以此来描述场的强弱。

  我们刚刚是通过类比了流体场,我们便联想到了通量。观察库仑定律表达式和万有引力表达式,可以发现两者十分相像,那么我们可不可以和重力场再进行一次类比,得到(静)电场的其它性质呢?

  比如一个物体,你从一楼提到六楼,再提到一楼,这个物体的重力势能是不变的,我们称重力场具有“有势性”。

  假设在真空中存在一由点电荷激发的电场E,那么我们往场内丢入一个试探电荷q’,再用力使q’在场内运动,在运动过程中电场力必然要对q’做功。

  当q’以某个轨迹回到原点时,由高中物理知识可得:电场力对q’做功为0,由电势的知识可得:

  这个式子的数学意义是:沿着一个闭合路径积分一圈;物理意义是:你绕着电场里的闭合轨迹走一圈所感受到的电势变化。

  想一下,除了电荷可以激发电场,我们在中学阶段还学过什么也可以激发电场?......磁?......磁生电?!

  ※闭合回路的感应电动势数值上等于穿过该闭合回路的磁通关于时间的变化率,取极限得:

  没错,感应电场线一般都是闭合的(在闭合回路中),我们可以把磁通的变化率写作:

  好了,研究完电场,是时候研究磁场了。我们可以仿照研究电场的模式,再次对磁场进行研究。首先,我们也可以研究一下磁场的通量。

  研究(静)电场的时候,我们发现(静)电场的电场线基本是呈现放射状的,并且电场的通量和闭曲面内电荷量有关。在中学阶段,我们认为磁感线是闭合曲线,而且又不存在磁单极子,那么我们就可以大胆猜想:磁场的通量应该是零啊!

  磁场B也是个矢量场,所以对B我们也可以谈及通量。由于不存在磁单极子,所以,我们设空间中有一长直导线,通过的电流大小为I,激发了一磁场:

  取垂直S面向外为dS法向,以导线为轴心作一立体圆环,与闭曲面S相交,交面为dS1,dS2,记它们的通量为dΦ1,dΦ2。

  电场线不闭合,磁场线闭合,(静)电场的环流恒为零,同样的我们也可以大胆猜想磁场的环流应该不为零才对。

  设想一下,如果你掉进了一个水旋涡里,你会随着旋涡的旋转而旋转式前进,我们也可以把磁感应线类比于旋涡的涡状线,在水旋涡内前进是因为水流对你做功,那么在磁场内“旋转”时,B矢量也会对你“做功”才对(不是真正意义上的做功)。

  不难想象,长直导线激发的磁场对应的磁感线是绕着导线且位于导线垂面的圆,具有高度对称性。

  我们设长直导线外有一场点P,任取一段电流元idl则P与电流元的距离为r,r的方向由P指向电流元。

  取r与i正方向的夹角为θ,端点处为θ1,θ2,电流元idl到P的垂直距离为l,P与导线距离为a。

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